miércoles, 21 de enero de 2009

El triángulo rectángulo

Capítulo 6:
El triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo r ² = x ² + y ². El radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ² puede tomar infinitas posiciones sucesivas.
Cuando a = b = r, el sumando a, el sumando b, la altura ab y la altura ab son, cada uno, un radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ².
Cuando a c b r, cualquier posición que tome el radio sirve para formar un triángulo rectángulo con solo trazar la altura correspondiente que es determinada por el valor ab. Y que tiene como base parte de la base común que sirve de referencia.
En el triángulo rectángulo así formado el radio es la hipotenusa del mismo y su valor es, obviamente, siempre el mismo independientemente de la posición que tome el radio. Su altura, que es determinada por el valor ab, es uno de sus dos catetos al que damos en llamar y. Su base, que es parte de la base común que sirve de referencia, es el otro de sus dos catetos al que damos en llamar x. Por la igualdad del Teorema de Pitágoras h ² = ca ² + ca ² al triángulo rectángulo así formado le damos en llamar r ² = x ² + y ².


Y de los dos triángulos rectángulos, izquierdo y derecho, que forman el triángulo rectángulo perfecto, se ubica en el que tiene mayor base, es decir, en el que tiene el sumando de mayor valor. De manera que el triángulo rectángulo en el que se ubica se completa con un triángulo isósceles cuyos dos lados iguales son radios del círculo inscrito en el cuadrado de c ². Y forma junto con el triángulo rectángulo en el que no se ubica otro triángulo isósceles cuyos dos lados iguales son, también, radios del círculo.





Capítulo 7:
Equivalencias

Sumando a = r + x, .... Al girar el radio y tomar posiciones sucesivas va formando sucesivos triángulos rectángulos. Las sucesivas hipotenusas que forma el radio, obviamente, es un valor constante.
El valor de x ² crece (o decrece) en el mismo valor en que decrece (o crece) el valor de y ² en la igualdad r ² = x ² + y ². Los sucesivos e infinitos valores que x ² e y ² pueden tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² determinan las sucesivas e infinitas posiciones que el radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ² puede tomar y determinan, asimismo, la línea curva del perímetro del círculo.
Los sucesivos e infinitos valores que x ² puede tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² determinan y son a su vez determinados por los sucesivos e infinitos valores del sumando a y del sumando b de la suma (a + b) ² = c ². El valor del sumando a crece (o decrece) en el mismo valor en que decrece (o crece) el valor del sumando b en la suma (a + b) = c.
Cuando a = b = r, el valor del sumando a y del sumando b es igual al valor del radio a = r y b = r.
Cuando a c b r, el valor del sumando a es igual a r + x (o, también, es igual a r - x al que damos en llamar su valor opuesto) y el valor del sumando b es igual a r - x (o, también, es igual a r + x al que damos en llamar su valor opuesto), a = (r + x) y b = (r - x).
Altura y = (r + x) (r - x). Los sucesivos e infinitos valores que y ² puede tomar en la igualdad r ² = x ² + y ² es determinado por el valor ab para cumplir con la igualdad del Teorema de Pitágoras. ab = y ², sustituyendo ab por su valores respectivos y desarrollando la fórmula se vuelve a cumplir la igualdad del Teorema de Pitágoras: ab = y ² ; (r + x) (r - x) = y ² ; r ² - rx + rx - x ² = y ² ; r ² - x ² = y ² ; r ² = x ² + y ².
a = r + xb = r - xc = (r + x) + (r - x)a ² = (r + x) ² = r ² + x ² + 2rxb ² = (r - x) ² = r ² + x ² - 2rx2ab = 2(r + x) (r - x) = 2r ² - 2rx + 2rx - 2x ² = 2r ² - 2x ²c ² = a ² + b ² + 2ab = r ² + x ² + 2rx + r ² + x ² - 2rx + 2r ² - 2x ² = 4r ²y ² = r ² - x ²a ² + b ² = (r + x) ² + (r - x) ² = r ² + x ² + 2rx + r ² + x ² - 2rx = 2r ² + 2x ²a ² + ab = (r + x) ² + (r + x) (r - x) = r ² + x ² + 2rx + r ² - x ² = 2r ² + 2rxetc.



Capítulo 8:
Complementos múltiples
Cuando a = b = r, ab es un cuadrado de valor r ² y de lado igual al radio del círculo inscrito en el cuadrado de c ², es decir, ab esta completo por que vale r ².
Cuando a c b r, ab es un rectángulo de área equivalente al área del cuadrado de valor y ² o, lo que es lo mismo, al área de un cuadrado de lado ab, es decir, no esta completo por que sólo vale y ². En c ² se puede completar con su complemento de valor x ², cuya equivalencia es: r ² = c ² ; y ² = a ² ; x ² = b ² + 2ab. Y también a la inversa, es decir, que x ² se puede completar con su complemento de valor y ², cuya equivalencia es: r ² = c ² ; x ² = a ² ; y ² = b ² + 2ab.

Se pueden definir múltiples complementos y relaciones entre los distintos elementos. Hemos dado en llamar y a la altura del triángulo rectángulo perfecto de sumando a = r + x y de sumando b = r - x (o sus valores opuestos), altura y que tiene su complemento en la altura x de sumando a = r + y, y de sumando b = r - y.





Capítulo 9:
(a ² + ab) = ac
El cateto izquierdo del triángulo rectángulo perfecto superior vale (a ² + ab) y es la hipotenusa del triángulo rectángulo izquierdo que lo forma, como ya se sabe. Y es uno de los cuatro lados que forman el cuadrado de valor a ² + ab. Y el cuadrado de valor a ² + ab equivale, en el cuadrado de c ², al área del rectángulo formando con el cuadrado de a ² y rectificado con el área del cuadrado (cuando a = b) o rectángulo (cuando a b) de ab. Es decir, equivale al área del rectángulo de ac.
El cateto derecho del triángulo rectángulo perfecto superior vale (b ² + ab) y es la hipotenusa del triángulo rectángulo derecho que lo forma, como también ya se sabe. Y es uno de los cuatro lados que forman el cuadrado de valor b ² + ab. Y el cuadrado de valor b ² + ab equivale, en el cuadrado de c ², al área del rectángulo formando con el cuadrado de b ² y rectificado con el área del cuadrado (cuando a = b) o rectángulo (cuando a b) de ab. Es decir, equivale al área del rectángulo de bc.